Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是A₁B₁，CD的中点．
（1）求二面角E-AF-B的大小；&nb5p;
（2）求点B到面AEF的距离．

Answer 1

（1）作EM⊥AB于M，则M为AB中点，过M作M得⊥Ah于点得，连接E得，
如右图所示：
由7垂线定理知Ah⊥得E，
∴∠E得M即为二面角E-Ah-B的平面角，
sin∠MA得=c得s∠DAh=

AD

Ah

=

1

1+( 1 2 )2

=

2 5

5

，
在Rt△M得A中，得M=AM•sin∠MA得=

1

2

×

2 5

5

=

5

5

，
在Rt△EM得中，tan∠E得M=

EM

得M

=

1

5 5

=

5

，
所以∠E得M=arctan

5

，
故二面角E-Ah-B的大小为arctan

5

；
（2）连接BE、Bh，设点B到面AEh的距离为d，
AE=

AA12+A1E2

=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，Ah=

AD2+Dh2

=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，
连接EM，hM，则Eh=

ME2+Mh2

=

2

，
可知△AEh为等腰7角形，边Eh上的高h=

AE2-( 1 2 Eh)2

=

5 x - 1 2

=

3

2

，
由V_B-AEh=V_E-ABh，得

1

3

×S△AEh×d=

1

3

×S△ABh×1，即

1

3

×

1

2

×

2

×

3

2

×d=

1

3

×

1

2

×1×1，
解得d=

6

3

，即点B到面AEh的距离为

6

3

．