已知定义域为R的奇函数f(x),求证:
(1)f(0)=0;
(2)若在区间[a,b](b>a>0)上f(x)有最大值M,那么f(x)在区间[-b,-a]上必有最小值-M.
充分利用奇函数的定义及奇函数图象的特点求解. 证明 (1)f(x)是定义在R上的奇函数,f( -0)=-f(0),即 f(0)=0,如图.(2)M 是f(x)在区间[a,b]上的最大值,则对于任意的,都有f(x)≤M.任取 ,于是≤Mf(x) 是R上的奇函数, , -,,即对任意的 都有≥-M,成立.f(x) 在区间[-b,-a]上的最小值是-M.利用奇 (偶)函数图象的特点是解决某些问题的重要辅助手段.该例题的条件反映到图象上大致是:若[a,b]上,f(x)最大,在图象上表现为点是函数图象在[a,b]上曲线的最高点,由图象的对称性可知,一定是图象在[-b,-a]上曲线的最低点,但图形不能代替推理证明. |
科目:高中数学 来源: 题型:
a |
x |
a |
x0 |
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