Question

【题目】已知函数，且函数的图象在点处的切线斜率为．

（1）求的值，并求函数的最值；

（2）当时，求证：.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由，可求得b=1,代入函数得，所以分0和0讨论单调性，再求得函数最值。（2）构造函数，只需证 在R上恒成立，显然时，符合，当时，，导函数零点，由单调可知下证 ，在区间上恒成立。

试题解析：（1）由题得，，

根据题意，得，∴，

∴．

当时，，在上单调递减，没有最值；

当时，令，得，令，得，

∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，

∴在处取得唯一的极大值，即为最大值，且．

综上所述，当时，没有最值；

当时，的最大值为，无最小值．

（2）要证，即证，

令，

当时，，∴成立；

当时，，

当时，；当时，，

∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，

∴．

∵，

∴，，

∴，即成立，

故原不等式成立．