Question

某学校拟建一块周长为400m的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？

Answer 1

分析：若设矩形的长为xm，半圆的直径是d，中间的矩形区域面积是Sm²，则S=dx，且2x+πd=400；而S=dx=

1

2π

•πd•2x≤

1

2π

(

πd+2x

2

)2，可得最大值以及对应的d、x的值．

解答：解：设矩形的长为xm，半圆的直径是d，中间的矩形区域面积是Sm²，根据题意，知
S=dx，且2x+πd=400．
∴S=dx=

1

2π

•πd•2x≤

1

2π

(

πd+2x

2

)2=

20000

π

，
当且仅当πd=2x=200，即x=100时等号成立，此时，d=

200

π

；
所以，应设计矩形的长为100m，宽约为63.7m时，矩形面积最大．

点评：本题考查了基本不等式a+b≥2

ab

（其中a＞0，b＞0）的变形应用，或者用二次函数的性质解答也可以．