Question

17．已知函数f（x）=$\frac{2x+3}{3x}$，数列{a_n}满足${a_1}=1，{a_{n+1}}=f（\frac{1}{a_n}），（n∈{N^*}）$
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{{a_{n-1}}{a_n}}}（n≥2），{b_1}$=3，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明：对一切n∈N^*，都有S_n＜$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知得${a}_{n+1}=\frac{\frac{2}{{a}_{n}}+3}{\frac{3}{{a}_{n}}}$=$\frac{2+3{a}_{n}}{3}$=${a}_{n}+\frac{2}{3}$，从而数列{a_n}是首项为1，公差为$\frac{2}{3}$的等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）n≥2时，b_n=$\frac{1}{（\frac{2}{3}n-\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}n+\frac{1}{3}）}$=$\frac{9}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，${b}_{1}=3=\frac{9}{2}（1-\frac{1}{3}）$，由此利用裂项求和法能证明对一切n∈N^*，都有S_n＜$\frac{9}{2}$．

解答 （1）解：∵函数f（x）=$\frac{2x+3}{3x}$，数列{a_n}满足${a_1}=1，{a_{n+1}}=f（\frac{1}{a_n}），（n∈{N^*}）$，
∴${a}_{n+1}=\frac{\frac{2}{{a}_{n}}+3}{\frac{3}{{a}_{n}}}$=$\frac{2+3{a}_{n}}{3}$=${a}_{n}+\frac{2}{3}$，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为$\frac{2}{3}$的等差数列，
∴${a}_{n}=1+（n-1）×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{3}n+\frac{1}{3}$．
（2）证明：∵b_n=$\frac{1}{{{a_{n-1}}{a_n}}}（n≥2），{b_1}$=3，
∴n≥2时，b_n=$\frac{1}{（\frac{2}{3}n-\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}n+\frac{1}{3}）}$=$\frac{9}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
又${b}_{1}=3=\frac{9}{2}（1-\frac{1}{3}）$，
∴${S}_{n}=\frac{9}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{9}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{9}{2}-\frac{9}{4n+2}$＜$\frac{9}{2}$，
∴对一切n∈N^*，都有S_n＜$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式的证明，考查数列的前n项和小于$\frac{9}{2}$的证明，是中档题，解题时要认真等差数列和裂项求和法的合理运用．