Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，且过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）若bn=2knan，求数列{b_n}的前n项和T_n．
（3）设Q={x|x=k_n，n∈N^*}，R={x|x=2a_n，n∈N^*}，等差数列{c_n}的任一项c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小数，110＜c₁₀＜115，求{c_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，可解得S_n=n²+2n（n∈N^*），再由通项与前n项和间的关系求得通项．
（2）用导数的几何意义，求得切线的斜率，再结合（1）求得bn=2knan=4•(2n+1)•4n．符合等差数列与等比数列相应项积的形式，用错位相减法求解．
（3）由“Q={x|x=2n+2，n∈N^*}，R={x|x=4n+2，n∈N^*}”求得交集，再由“c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小数”可求得c₁=6．
最后由{c_n}是公差是4的倍数求得c₁₀=4m+6，则110＜c₁₀＜115求解即可．

解答：解：（1）∵点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，
∴S_n=n²+2n（n∈N^*），
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1．
当n=1时，a₁=S₁=3满足上式，所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1（3分）
（2）由f（x）=x²+2x求导可得f′（x）=2x+2
∵过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n，
∴k_n=2n+2．
∴bn=2knan=4•(2n+1)•4n．
∴T_n=4×3×4¹+4×5×4²+4×7×4³++4×（2n+1）×4ⁿ①
由①×4，得4T_n=4×3×4²+4×5×4³+4×7×4⁴++4×（2n+1）×4ⁿ⁺¹②
①-②得：-3T_n=4[3×4+2×（4²+4³++4ⁿ）-（2n+1）×4ⁿ⁺¹]=4[3×4+2×

42(1-4n-1)

1-4

-(2n+1)×4n+1]∴Tn=

6n+1

9

•4n+2-

16

9

．（8分）
（3）∵Q={x|x=2n+2，n∈N^*}，R={x|x=4n+2，n∈N^*}，∴Q∩R=R．
又∵c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小数，
∴c₁=6．
∵{c_n}是公差是4的倍数，
∴c₁₀=4m+6（m∈N^*）．
又∵110＜c₁₀＜115，
∴

110＜4m+6＜115 m∈N*

，解得m=27．
所以c₁₀=114，
设等差数列的公差为d，则d=

c10-c1

10-1

=

114-6

9

=12，
∴c_n=6+（n+1）×12=12n-6，所以{c_n}的通项公式为c_n=12n-6（14分）

点评：本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了数列的通项与前n项和间的关系，错位相减法求和等问题，属中档题，是常考类型．