Question

已知函数f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜

π

2

）的图象在y轴上的截距为

3

，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x₀，2）和（x₀+π，-2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且锐角A满足f(A-

π

3

)=

3

，
又已知a=7，sinB+sinC=

13 3

14

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意易得A=2，由

1

2

T=π，可得ω=1，再由截距为

3

可得2sinφ=

3

，结合角的范围可得φ=

π

3

，可得解析式；
（2）结合（1）易得A=

π

3

由正弦定理可得sinB=

3 b

14

，sinC=

3 c

14

，代入已知可得b+c=13，在结合余弦定理可得bc的值，由三角形的面积公式可得．

解答： 解：（1）由最值点可得A=2，设函数的周期为T，
由三角函数的图象特点可得

1

2

T=

2π

2ω

=π，解得ω=1，
又图象在y轴上的截距为

3

，∴2sinφ=

3

，
∴sinφ=

3

2

，又|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

3

，
∴f（x）=2sin（x+

π

3

）；
（2）∵锐角A满足f(A-

π

3

)=

3

，
∴2sin（A+

π

3

-

π

3

）=

3

，
解得sinA=

3

2

，∴A=

π

3

；
由正弦定理可得

7

3 2

=

b

sinB

=

c

sinC

，
变形可得sinB=

3 b

14

，sinC=

3 c

14

，
∴sinB+sinC=

3

14

（b+c）=

13 3

14

，∴b+c=13，
再由余弦定理可得7²=b²+c²-2bc×

1

2

，
=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=169-3bc，∴bc=40，
∴△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

1

2

×40×

3

2

=10

3

．

点评：本题考查三角函数解析式的求解，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，属中档题．