Question

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数．现给出下列命题：
①函数f（x）=2^-x为R上的1高调函数；
②函数f（x）=sin2x不是R上的π高调函数；
③如果定义域为[-1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上m高调函数，那么实数m 的取值范围是[2，+∞）；
④函数f（x）=lg（|x-2|+1）为[1，+∞）上的2高调函数．
其中真命题为

③④

（填序号）．

Answer 1

分析：①函数f（x）=2^-x为R上的递减函数，可判断①的正误；
②由正弦函数的性质知函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数，从而可判断②的正误；
③函数f（x）=x²为[-1，+∞）上m高调函数，只有[-1，1]上至少需要加2，从而可求实数m 的取值范围；
④f（x+2）=lg（|x|+1）≥f（x），知函数f（x）=lg（|x-2|+1）为[1，+∞）上的2高调函数，从而可知④的正误．

解答：解：①∵函数f（x）=2^-x为R上的递减函数，故不存在x+l∈D，使得f（x+l）≥f（x），故①不正确；
②∵sin2（x+π）≥sin2x，
∴函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数，故②错误；
③如果定义域为[-1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上m高调函数，
只有[-1，1]上至少需要加2，
∴实数m的取值范围是[2，+∞），故③正确；
④∵f（x）=lg（|x-2|+1），x∈[1，+∞），
∴f（x+2）=lg（|x|+1）≥f（x），
∴函数f（x）=lg（|x-2|+1）为[1，+∞）上的2高调函数，故④正确；
综上可知，真命题为③④．
故答案为：③④．

点评：本题考查基本初等函数的性质，是一个特新定义问题，注意对于条件中所给的一个新的概念，要注意理解，考查抽象思维与综合运算能力，属于难题．