Question

若（3x-1）⁷=a₇x⁷+a₆x⁶+…a₁x+a₀，求：
（1）a₁+a₂+…+a₇；
（2）a₁+a₃+a₅+a₇；
（3）a₀+a₂+a₄+a₆．

Answer 1

解：（1）∵（3x-1）⁷=a₇x⁷+a₆x⁶+…a₁x+a₀，
∴令x=1，得：（3×1-1）⁷=a₇+a₆+…a₁+a₀=2⁷，①
又a₀=•（-1）⁷=-1．
∴a₁+a₂+…+a₇=2⁷+1=129；
（2）在（3x-1）⁷=a₇x⁷+a₆x⁶+…a₁x+a₀中，
令x=-1，则-a₇+a₆-a₅+a₄-…+a₀=（-4）⁷②
由①-②得：2（a₁+a₃+a₅+a₇）=2⁷-（-4）⁷，
∴a₁+a₃+a₅+a₇=8256．
（3）由①+②得：2（a₀+a₂+a₄+a₆）=2⁷+（-4）⁷，
∴a₀+a₂+a₄+a₆=-8128．
分析：依题意，可先求得a₀=-1，再利用赋值法即可求得（1），（2），（3）的答案．
点评：本题考查二项式定理的应用，着重考查赋值法的应用，考查方程思想，属于中档题．