Question

已知顶点是坐标原点，对称轴是x轴的抛物线经过点A(

1

2

，-

2

)．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程．
（Ⅱ）直线l过定点P（-2，1），斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线有两个公共点？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意设抛物线的方程为y²=2px，把A点坐标(

1

2

，-

2

)代入方程得(-

2

)2=2p×

1

2

，由此能求出抛物线的标准方程．
（Ⅱ）由题意，直线l的方程为y=kx+2k+1，由方程组

y=kx+(2k+1) y2=4x

，得ky²-4y+4（2k+1）=0，由此能够推导出当-1＜k＜

1

2

，且k≠0时，以上方程组有两个解，这时直线l抛物线有两个公共点．

解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意设抛物线的方程为y²=2px，
把A点坐标(

1

2

，-

2

)代入方程得(-

2

)2=2p×

1

2

，
解得p=2，
所以抛物线的标准方程是y²=4x
（Ⅱ）由题意，直线l的方程为y=kx+2k+1
由方程组

y=kx+(2k+1) y2=4x

，
得ky²-4y+4（2k+1）=0，
显然k=0不满足题意，∴k≠0
于是由△=-16（2k²+k-1）＞0，
即2k²+k-1＜0，
解得　-1＜k＜

1

2

于是，当-1＜k＜

1

2

，
且k≠0时，以上方程组有两个解，这时直线l抛物线有两个公共点．
故当k≠0时，直线l与抛物线有两个公共点．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线有两个交点时实数值的求法．解题时要认真审题，注意直线与抛物线位置关系的综合运用．