Question

已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上最小值．

Answer 1

分析：（1）先确定函数f（x）的定义域，然后对函数f（x）求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减求出单调区间；
（2）分类讨论，确定函数的单调性，从而可确定函数的最值．

解答：解：（1）当a=2时，f（x）=lnx-ax，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
求导函数可得f'（x）=

1

x

-2
①由f'（x）＞0，x＞0，得0＜x＜

1

2

②由f'（x）＜0，x＞0，得x＞

1

2

故函数f（x）的单调递增区间为（0，

1

2

），单调减区间是（

1

2

，+∞）．…（8分）
（2）①当

1

a

≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上是减函数，
∴f（x）的最小值是f（2）=ln2-2a．…（10分）
②当

1

a

≥2，即a≤

1

2

时，函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，
∴f（x）的最小值是f（1）=-a．…（12分）
③当1＜

1

a

＜2，即

1

2

＜a＜1时，函数f（x）在[1，

1

a

]上是增函数，在[

1

a

，2]上是减函数．
又f（2）-f（1）=ln2-a，
∴当

1

2

＜a＜ln2时，最小值是f（1）=-a；
当ln2≤a＜1时，最小值为f（2）=ln2-2a．…（15分）
综上可知，当0＜a＜ln2时，函数f（x）的最小值是-a；当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是ln2-2a．…（16分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查函数的最值，正确求导，确定分类标准是关键．