Question

已知椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，且椭圆Γ的右焦点F与抛物线y²=4x的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，是否存在直线l，使得OA⊥OB，O为坐标原点，若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设F（c，0），
∵抛物线y²=4x的焦点坐标为（1，0），且椭圆Γ的右焦点F与抛物线y²=4x的焦点重合，∴c=1，
又e=

c

a

=

2

2

，得a=

2

，于是有b²=a²-c²=1．
故椭圆Γ的标准方程为

x2

2

+y2=1；
（2）假设存在直线l满足题意．
①当直线l为x=-1时，A(-1，

2

2

)，B(-1，-

2

2

)，

OA

•

OB

=(-1，

2

2

)•(-1，-

2

2

)=1-

1

2

≠0，此时OA⊥OB不成立，与已知矛盾，舍去．
②设直线l的方程为y=k（x+1），代入

x2

2

+y2=1，消去y得，（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=-

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

，
∴

OA

•

OB

=(x1，y1)•(x2，y2)=x₁x₂+y₁y₂
=(k2+1)x1x2+k2(x1+x2)+k2=(k2+1)

2k2-2

2k2+1

+k2

-4k2

2k2+1

+k2=

k2-2

2k2+1

=0⇒k=±

2

∴直线l的方程为y=±

2

(x+1)，
即

2

x-y+

2

=0或

2

x+y+

2

=0．