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已知曲线f(x)=xn+1(n∈N*)与直线x=1交于点P,若设曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn,则lgx1+lgx2+…+lgx9的值为(  )
分析:先求出函数的导数,由导数的几何意义求切线的斜率k,代入点斜式方程求出过(1,1)的切线方程,在切线方程中令y=0,可得xn,然后根据对数的运算法则计算即可得到结论.
解答:解:由题意得f′(x)=(n+1)xn
设过(1,1)的切线斜率k,则k=f′(1)=n+1,
∴切线方程为y-1=(n+1)(x-1)
令y=0,可得x=1-
1
n+1
=
n
n+1

即xn=
n
n+1

∴lgx1+lgx2+…+lgx9=lg(x1x2…x9
=lg(
1
2
×
2
3
×…×
9
10

=lg
1
10
=-1,
故选A.
点评:本题考查导数的几何意义及过某一定点的切线方程,对数的运算法则,关键是正确求出导数和运用对数的运算法则.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•深圳一模)已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知曲线f(x)=
x-1
在点A(2,1)处的切线为直线l
(1)求切线l的方程;
(2)求切线l,x轴及曲线所围成的封闭图形的面积S.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5,若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且当x=
23
时,y=f(x)有极值.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[-4,1]上的最大值和最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知曲线f(x)=x3+bx2+cx在点A(-1,f(-1)),B(3,f(3))处的切线互相平行,且函数f(x)的一个极值点为x=0.
(Ⅰ)求实数b,c的值;
(Ⅱ)若函数y=f(x),x∈[-
12
,3]
的图象与直线y=m恰有三个交点,求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源:深圳一模 题型:解答题

已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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