Question

已知a，b，c∈R，且三次方程f(x)＝x³－ax²＋bx－c＝0有三个实根x₁，x₂，x₃．

(1)类比一元二次方程根与系数的关系，写出此方程根与系数的关系；

(2)若a∈Z，b∈Z且|b|＜2，f(x)在x＝α，x＝β处取得极值且－1＜α＜0＜β＜1，试求此方程三个根两两不等时c的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知，得，比较两边系数， 　　得．　4分 　　(3)令，要有三个不等的实数根，则函数有一个极大值和一个极小值，且极大值大于0，极小值小于0．　5分 　　由已知，得有两个不等的实根， 　　，得．　6分 　　又，，将代入(1)(3)，得．，8分 　　则，且在处取得极大值，在处取得极小值，　10分 　　故要有三个不等的实数根，则必须　12分 　　得．　14分 　　本题考查学生类比探究函数与方程与图形的转化分析：(1)联想二次方程根与系数关系，写出三次方程的根与系数．(2)三次函数的问题往往都转化为二次方程来研究．