【题目】已知数列
满足
，其中
， 
.
（1）求
， 
， 
，并猜想
的表达式（不必写出证明过程）；
（2）设
，数列
的前
项和为
，求证： 
.
（B）已知数列
的前
项和为
，且满足
， 
.
（1）求
， 
， 
， 
，并猜想
的表达式（不必写出证明过程）；
（2）设
， 
，求
的最大值.
【答案】（A）（1）详见解析;（2）详见解析. （B）（1）详见解析;（2）
.
【解析】试题分析:（A）（1）利用
的递推关系得到
，从而求得
，由此猜想
.（2）将
的表达式代入
，求得
，用裂项求和法求得前
项和
.（B）利用
，和
的递推关系，可求得
的值，由此猜想
.（2）利用
，可求得
的通项公式，代入
并化简，利用基本不等式可求得其最大值.
试题解析：
（A）解（1）由题意， 
， 
， 
，
则
， 
， 
，
猜想得： 
.
（2）由（1）得
，
则
.
（B）解（1）
，
由
，得
，
同理可得
， 
，
猜想： 
.
（2）由（1），
时， 
，
当
时， 
满足止式，
所以
，
则
， 
，
设
，则有
在
上为减函数，在
上为增函数，
因为
，且
，
所以当
或
时， 
有最大值
.
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知
三个班共有学生100人，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获取了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）.
| 6 |
| 7 | |
| 6 | 7 | 8 | |
| 5 | 6 | 7 | 8 |
（1）试估计
班学生人数；
（2）从
班和
班抽出来的学生中各选一名，记班选出的学生为甲，班选出的学生为乙，求甲的锻炼时间大于乙的锻炼时间的概率.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，短轴两个端点为
，且四边形
是边长为2的正方形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若
分别是椭圆长轴的左、右端点，动点
满足
，连结
，交椭圆于点
，证明：
为定值；
（3）在（2）的条件下，试问
轴上是否存在异于点
的定点
，使得以
为直径的圆恒过直线
的交点，若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，c＝(－1，0)．
(1) 求向量b＋c的模的最大值；
(2) 若α＝
，且a⊥(b＋c)，求cos β的值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数
（
为常数， 
是自然对数的底数），曲线
在点
处的切线方程是
.
（1）求
的值；（2）求
的单调区间；
（3）设
（其中
为
的导函数）。证明：对任意
， 
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数f(x)＝loga(ax2－x＋1)(a＞0，a≠1)．
(1) 若a＝
，求函数f(x)的值域．
(2) 当f(x)在区间
上为增函数时，求a的取值范围．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图:某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（
）的池底水平铺设污水净化管道（
是直角顶点）来处理污水，管道越长污水净化效果越好，设计要求管道的的接口
是
的中点，
分别落在线段
上。已知
米，
米，记
.
（1）试将污水净化管道的长度
表示为
的函数，并写出定义域；
（2）若
，求此时管道的长度；
（3）当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度。
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏，将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.
（1）若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的
列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？
（2）若参赛选手共6万人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数；
（3）在优秀等级的选手中取6名，依次编号为1,2,3,4,5,6，在良好等级的选手中取6名，依次编号为1,2,3,4,5,6，在选出的6名优秀等级的选手中任取一名，记其编号为
，在选出的6名良好等级的选手中任取一名，记其编号为
，求使得方程组
有唯一一组实数解
的概率.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某同学在研究性学习中，关于三角形与三角函数知识的应用（约定三内角
所对的边分别是
）得出如下一些结论：
（1）若
是钝角三角形，则
；
（2）若
是锐角三角形，则
；
（3）在三角形
中，若
，则
（4）在
中，若
，则
其中错误命题的个数是 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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