Question

已知f（x）为二次函数，不等式f（x）+2＜0的解集为，且对任意α，β∈R恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0．数列a_n满足a₁=1，（n∈N^×）
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设，求数列b_n的通项公式；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中数列b_n的前n项和为S_n，求数列S_n•cos（b_nπ）的前n项和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，（a＞0），
即
令，则sinα=1，cosβ=-1，有f（1）≤0，f（2-1）≥0，
得f（1）=0，即，得．
∴．-（4分）
（Ⅱ）f'（x）=3x+1，则
即，两边取倒数，得，即b_n+1=3+b_n．
∴数列b_n是首项为，公差为3的等差数列．
∴b_n=1+（n-1）•3=3n-2（n∈N^*）．（9分）
（Ⅲ）∵cos（b_nπ）=cos（3n-2）π=cos（nπ）=（-1）ⁿ
∴S_n•cos（b_nπ）=（-1）ⁿ•S_n∴T_n=-S₁+S₂-S₃+S₄-+（-1）ⁿS_n．
（1）当n为偶数时T_n=（S₂-S₁）+（S₄-S₃）++（S_n-S_n-1）=b₂+b₄++b_n
=
（2）当n为奇数时=
综上，（13分）
分析：（Ⅰ）根据“f（x）为二次函数，不等式f（x）+2＜0的解集为，”可得到即，再由“任意α，β∈R恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0”可得f（1）≤0，f（2-1）≥0，从而有f（1）=0，解得得到函数的解析式．
（Ⅱ）先求导数f'（x）=3x+1，则即，两边取倒数，有由等差数列定义求解．
（Ⅲ）化简得S_n•cos（b_nπ）=（-1）ⁿ•S_n∴以有T_n=-S₁+S₂-S₃+S₄-+（-1）ⁿS_n．再分n为偶数和n为奇数两种情况化简即可．
点评：本题主要考查函数与数列的综合运用，主要涉及了二次函数求解析式，构造数列求数列的通项及前n项和等问题，属于中档题．