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    （Ⅰ）已知函数f(x)=
    x
    x+1
    ．数列{an}满足：an＞0，a1=1，且
    		an+1
    =f(
    		an
    )    ，记数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=
    		2
    2
    [
    1
    an
    +(
    		2
    +1)n]    ．求数列{bn}的通项公式；并判断b4+b6是否仍为数列{bn}中的项？若是，请证明；否则，说明理由．
    （Ⅱ）设{cn}为首项是c1，公差d≠0的等差数列，求证：“数列{cn}中任意不同两项之和仍为数列{cn}中的项”的充要条件是“存在整数m≥-1，使c1=md”．
    分析：（Ⅰ）由题意知
    1
    		an+1
    -
    1
    		an
    =1    ，
    1
    		an
    =1+(n-1)=n    ，所以an=
    1
    n2
    ．再由题设条件可以导出bn=Sn-Sn-1=1+
    		2
     n    ，由此可知b4+b6不在数列{bn}中．
    （Ⅱ）先证充分性：若存在整数m≥-1，使c1=md．再证必要性：若数列{cn}中任意不同两项之和仍为数列{cn}中的项，则cs=c1+（s-1）d，ct=c1+（t-1）d．
    解答：解：（Ⅰ）因为
    		an+1
    =f(
    		an
    )=
    		an
    		an
    +1
    ，
    所以
    1
    		an+1
    =
    1
    		an
    +1    ，
    即
    1
    		an+1
    -
    1
    		an
    =1    ，
    1
    		an
    =1+(n-1)=n    ，
    即an=
    1
    n2
    ．（4分）
    因为Sn=
    		2
    2
    [
    1
    an
    +(
    		2
    +1)n]=
    		2
    2
    n2+(1+
    		2
    2
    )n    ，
    当n=1时，S1=b1=
    		2
    +1    ，
    当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=1+
    		2
     n    ，
    所以bn=
    		2
     n+1(n∈N*)    ．（6分）
    又因为b4+b6=4
    		2
    +1+6
    		2
    +1=10
    		2
    +2    ，
    所以令bt=10
    		2
    +2 (t∈N*)    ，
    则10
    		2
    +2=
    		2
    t+1    ；
    得到t=10+
    		2
    2
    与t∈N*矛盾，
    所以b4+b6不在数列{bn}中．（8分）
    （Ⅱ）充分性：若存在整数m≥-1，使c1=md．
    设cr，ct为数列{cn}中不同的两项，
    则cr+ct=c1+（r-1）d+c1+（t-1）d=c1+（r+m+t-2）d=c1+[（r+m+t-1）-1]d．
    又r+t≥3且m≥-1，所以r+m+t-1≥1．
    即cr+ct是数列{cn}的第r+m+t-1项．（11分）
    必要性：若数列{cn}中任意不同两项之和仍为数列{cn}中的项，
    则cs=c1+（s-1）d，ct=c1+（t-1）d，
    （s，t为互不相同的正整数）
    则cs+ct=2c1+（s+t-2）d，令cs+ct=cl，
    得到2c1+（s+t-2）d=c1+（l-1）d（n，t，s∈N*），
    所以c1=（l-s-t+1）d，
    令整数m=l-s-t+1，所以c1=md． （14分）
    下证整数m≥-1
    若设整数m＜-1，则-m≥2．令k=-m，
    由题设取c1，ck使c1+ck=cr（r≥1）
    即c1+c1+（k-1）d=c1+（r-1）d，
    所以md+（-m-1）d=（r-1）d
    即rd=0与r≥1，d≠0相矛盾，所以m≥-1．
    综上，数列{cn}中任意不同两项之和仍为数列{cn}中的项的充要条件是存在整数m≥-1，使c1=md．（16分）
    点评：本题考查数列的性质和综合运用，难度较大．解题时要认真审题，仔细解答．
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    3x+5，(x≤0)
    x+5，(0＜x≤1)
    -2x+8，(x＞1)
    ，
    求（1）f(
    1
    π
    )，f[f(-1)]    的值；
    （2）若f（a）＞2，则a的取值范围．

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    A、(
    1
    3
    ，1)
    B、（
    1
    3
    ，
    1
    2
    ]
    C、（
    1
    3
    ，
    6
    11
    ]
    D、[
    6
    11
    ，1    ）

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    |x-1|-a
    		1-x2
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    ．

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    2x-2-x2x+2-x

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    （2）判断f（x）的奇偶性并证明；
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    x-1x+a
    +ln(x+1)    ，其中实数a≠1．
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    （2）若f（x）在x=1处取得极值，试讨论f（x）的单调性．

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