【题目】假设某士兵远程射击一个易爆目标,射击一次击中目标的概率为,三次射中目标或连续两次射中目标,该目标爆炸,停止射击,否则就一直独立地射击至子弹用完.现有5发子弹,设耗用子弹数为随机变量X.
(1)若该士兵射击两次,求至少射中一次目标的概率;
(2)求随机变量X的概率分布与数学期望E(X).
【答案】(1) .
(2)分布列见解析,.
【解析】分析:(1)利用对立事件即可求出答案;
(2)耗用子弹数的所有可能取值为2,3,4,5,分别求出相应的概率即可.
详解:(1)该士兵射击两次,至少射中一次目标的概率为
.
(2)耗用子弹数的所有可能取值为2,3,4,5.
当时,表示射击两次,且连续击中目标,;
当时,表示射击三次,第一次未击中目标,且第二次和第三次连续击中目标,
;
当时,表示射击四次,第二次未击中目标,且第三次和第四次连续击中目标,
;
当时,表示射击五次,均未击中目标,或只击中一次目标,或击中两次目标前四次击中不连续两次或前四次击中一次且第五次击中,或击中三次第五次击中且前四次无连续击中。
;
随机变量的数学期望
.
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【题目】已知四棱锥中,底面是菱形,侧面平面,且,,.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)若点在线段上,且,试问:在上是否存在一点,使面?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为:(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与曲线交于,两点.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若点的极坐标为,求的面积.
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【题目】 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得25万元~ 1600万元的投资收益,现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金不超过75万元,同时奖金不超过投资收益的20%.(即:设奖励方案函数模型为y=f (x)时,则公司对函数模型的基本要求是:当x∈[25,1600]时,①f(x)是增函数;②f (x) 75恒成立; 恒成立.
(1)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求,并说明理由;
(2)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求,求实数a的取值范围.
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【题目】2016年时红军长征胜利80周年,某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答,宣传长征精神.首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动,其次在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星,每人获得一个纪念品,其数据表格如下:
(Ⅰ)求此活动中各公园幸运之星的人数;
(Ⅱ)从乙和丙公园的幸运之星中任选两人接受电视台记者的采访,求这两人均来自乙公园的概率;
(Ⅲ)电视台记者对乙公园的签名人进行了是否有兴趣研究“红军长征”历史的问卷调查,统计结果如下(单位:人):
据此判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为有兴趣研究“红军长征”历史与性别有关.
附临界值表及公式: ,其中
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,直线l: ( 为参数).
(1)求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程;
(2)若曲线C2的参数方程为 (α为参数),曲线P(x0 , y0)上点P的极坐标为 ,Q为曲线C2上的动点,求PQ的中点M到直线l距离的最大值.
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【题目】为了巩固全国文明城市创建成果,今年吉安市开展了拆除违章搭建铁皮棚专项整治行为.为了了解市民对此项工作的“支持”与“反对”态度,随机从存在违章搭建的户主中抽取了男性、女性共名进行调查,调查结果如下:
支持 | 反对 | 合计 | |
男性 | |||
女性 | |||
合计 |
(1)根据以上数据,判断是否有的把握认为对此项工作的“支持”与“反对”态度与“性别”有关;
(2)现从参与调查的女户主中按分层抽样的方法抽取人进行调查,分别求出所抽取的人中持“支持”和“反对”态度的人数;
(3)现从(2)中所抽取的人中,再随机抽取人赠送小品,求恰好抽到人持“支持”态度的概率?
参考公式:,其中.
参考数据:
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【题目】某地空气中出现污染,须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算,每喷洒1个单位的去污剂,空气中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间x(单位:天)变化的函数关系式近似为,若多次喷洒,则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知,当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时,它才能起到去污作用.
(Ⅰ)若一次喷洒4个单位的去污剂,则去污时间可达几天?
(Ⅱ)若第一次喷洒2个单位的去污剂,6天后再喷洒 个单位的去污剂,要使接下来的4天中能够持续有效去污,试求的最小值.
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【题目】已知f(x)是定义域为(0,+∞)的单调函数,若对任意的x∈(0,+∞),都有 ,且方程|f(x)﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间(0,3]上有两解,则实数a的取值范围是( )
A.0<a≤5
B.a<5
C.0<a<5
D.a≥5
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