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精英家教网如图,已知圆C:x2+y2=2与x轴交于A1、A2两点,椭圆E以线段A1A2为长轴,离心率e=
2
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(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)设椭圆E的左焦点为F,点P为圆C上异于A1、A2的动点,过原点O作直线PF的垂线交直线x=-2于点Q,判断直线PQ与圆C的位置关系,并给出证明.
分析:(Ⅰ)直接求出a再利用离心率e=
2
2
求出c即可求出椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)先设出点P的坐标,利用条件求出点Q的坐标,再求出kOP和kPQ的表达式,利用点P在圆上,可以得直线PQ与圆C保持相切.
解答:解:(Ⅰ)因为a=
2
,e=
2
2
,所以c=1(2分)
则b=1,即椭圆E的标准方程为
x2
2
+y2=1
(4分)
(Ⅱ)当点P在圆C上运动时,直线PQ与圆C保持相切(6分)
证明:设P(x0,y0)(x0≠±
2
),则y02=2-x02
所以kPF=
y0
x0+1
kOQ=-
x0+1
y0

所以直线OQ的方程为y=-
x0+1
y0
x
(9分)
所以点Q(-2,
2x0+2
y0
)(11分)
所以kPQ=
y0-
2x0+2
y0
x0+2
=
y02-(2x0+2)
(x0+2)y0
=
-x02-2x0
(x0+2)y0
=-
x0
y0
(13分)精英家教网
kOP=
y0
x0
,所以kOP⊥kPQ=-1,
即OP⊥PQ,故直线PQ始终与圆C相切(14分)
点评:本题是对圆和椭圆的综合考查.在做这一类型题目时,一定要画出图象,利用图象来分析问题.
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,求直线m的方程.

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(2)当r=1时,试证明:点B一定是单位圆C上的有理点;(说明:坐标平面上,横、纵坐标都为有理数的点为有理点.我们知道,一个有理数可以表示为
qp
,其中p、q均为整数且p、q互质)
(3)定义:实半轴长a、虚半轴长b和半焦距c都是正整数的双曲线为“整勾股双曲线”.
当0<k<1时,是否能构造“整勾股双曲线”,它的实半轴长、虚半轴长和半焦距的长恰可由点B的横坐标、纵坐标和半径r的数值构成?若能,请尝试探索其构造方法;若不能,试简述你的理由.

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如图,已知圆C:x2+y2=2与x轴交于A1、A2两点,椭圆E以线段A1A2为长轴,离心率
(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)设椭圆E的左焦点为F,点P为圆C上异于A1、A2的动点,过原点O作直线PF的垂线交直线x=-2于点Q,判断直线PQ与圆C的位置关系,并给出证明.

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如图,已知圆C:x2+y2=2与x轴交于A1、A2两点,椭圆E以线段A1A2为长轴,离心率
(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)设椭圆E的左焦点为F,点P为圆C上异于A1、A2的动点,过原点O作直线PF的垂线交直线x=-2于点Q,判断直线PQ与圆C的位置关系,并给出证明.

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