精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1的左支交于不同两点A、B,若另有一条直线l经过P(-2,0)及线段AB的中点Q.
(1)求k的取值范围;
(2)求直线l在y轴上的截距b的取值范围.
分析:(1)由
y=kx-1
x2-y2=1
,得(1-k2)x2+2kx-2=0.再由直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1的左支交于不同两点A、B,利用根的判别式和韦达定理能求出k的取值范围.
(2)由直线l经过P(-2,0)及线段AB的中点Q,知直线l的方程为得x-(2k2+k-2)y+2=0,令x=0,解得直线l在y轴上的截距b=
2
2k2+k-2
.设f(k)=2k2+k-2=2(k+
1
4
2-
17
8
,由此能求出直线l在y轴上的截距b的取值范围.
解答:(本小题满分12分)
解:(1)由
y=kx-1
x2-y2=1
,得(1-k2)x2+2kx-2=0.
直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1的左支交于不同两点A、B,
△=4k2+8(1-k2)>0
x1+x2=
2k
k2-1
<0
x1x2=
2
k2-1
>0
,解得-
2
<k<-1.
∴k的取值范围是(-
2
,-1).(6分)
(2)∵直线l经过P(-2,0)及线段AB的中点Q,
设Q(x0,y0),∴
x0=
k
k2-1
y0=kx0-1=
1
k2-1

∴直线l的方程为:
y
x+2
=
1
k2-1
k
k2-1
+2
,整理,得x-(2k2+k-2)y+2=0,
令x=0,解得直线l在y轴上的截距b=
2
2k2+k-2

设f(k)=2k2+k-2=2(k+
1
4
2-
17
8

则f(k)在(-
2
,-1)上是减函数,
∴f(-1)<f(k)<f(-
2
)
,且f(k)≠0,
∴-1<f(k)<2-
2
,且f(k)≠0,
∴b<-2,或b>2+
2

故直线l在y轴上的截距b的取值范围是(-∞,-2)∪(2+
2
,+∞)…12分
点评:本题考查直线的斜率的取值范围的求法,考查直线纵截距的取值范围的求法.解题时要认真审题,注意构造法的合理运用.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(理)已知直线y=kx+1(k∈R)与椭圆
x2
2
+
y2
m
=1总有交点,则m的取值范围为(  )
A、(1,2]
B、[1,2)
C、[1,2)∪[2,+∞)
D、(2,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线y=kx+1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆
x2
5
+
y2
t
=1恒有公共点,求t的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•东城区二模)已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率e=
3
2
,原点到过A(a,0),B(0,-b)两点的直线的距离是
4
5
5

(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线y=kx+1(k≠0)交椭圆于不同的两点E,F,且E,F都在以B为圆心的圆上,求k的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点,则实数k的取值范围为
 

查看答案和解析>>

同步练习册答案