Question

19．如图，四棱锥P-ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E为棱PB的中点
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面CDE；
（Ⅱ）若直线PC与平面PAD所成角为45°，求二面角A-DE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AP的中点F，连结EF，DF，推导出四边形CDEF为平行四边形，从而DF∥CE，由此能证明平面PAB⊥平面CDE．
（Ⅱ）以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出二面角A-DE-C的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）取AP的中点F，连结EF，DF，
∵E是PB中点，∴EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，∴CD$\underset{∥}{=}$EF，
∴四边形CDEF为平行四边形，
∴DF∥CE，
又△PAD 为正三角形，
∴PA⊥DF，从而PA⊥CE，
又PA⊥CD，CD∩CE=C，
∴PA⊥平面CDE，
又PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面CDE．
解：（Ⅱ）∵AB∥CD，PA⊥CD，
∴PA⊥AB，
又AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，
∴∠CPD为PC与平面PAD所成角，即∠CPD=45°，从而CD=AD，
以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，
设AD=2，则A（0，0，0），B（4，0，0），P（0，1，$\sqrt{3}$），D（0，2，0），E（2，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{AE}$=（2，$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0），
设平面ADE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=2x+\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=2y=0}\end{array}\right.$，取z=-4，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，-4$），
由（Ⅰ）知PA⊥平面CDE，∴$\overrightarrow{AP}$=（0，1，$\sqrt{3}$）是平面CDE的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AP}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-4\sqrt{3}}{2×\sqrt{19}}$=-$\frac{2\sqrt{57}}{19}$，
∴二面角A-DE-C的余弦值为-$\frac{2\sqrt{57}}{19}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．