Question

10．如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD，E为PC的中点，F为PB上一点，且EF⊥PB．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）证明：PB⊥平面EFD；
（3）求三棱锥B-ADF的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AC交BD于点G，连接EG．通过中位线定理及线面平行的判定定理即得结论；
（2）证明DE⊥平面PBC，可得DE⊥PB，又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD；
（3）利用等体积法，求三棱锥B-ADF的体积．

解答 证明：（1）连接AC交BD于点G，连接EG．（1分）
因为四边形ABCD是正方形，所以点G是AC的中点，
又因为E为PC的中点，因此EG∥PA．（2分）
而EG?平面EDB，所以PA∥平面EDB．（3分）
（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD，∴PD⊥DC
∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，
∴DE⊥PC①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC
而DE?平面PDC，∴BC⊥DE②
由①和②推得DE⊥平面PBC
而PB?平面PBC，∴DE⊥PB
又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD…（8分）
（3）解：过点F作FH∥PD，交BD于H．
因为PD⊥底面ABCD，FH∥PD，所以FH⊥底面ABCD．
由题意，可得$PB=\sqrt{3}$，$PC=\sqrt{2}$，$PE=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$． 
由Rt△PFE∽Rt△PCF，得$\frac{PF}{PE}=\frac{PC}{PB}$，$PF=\frac{PE•PC}{PB}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
由Rt△BFH∽Rt△BPD，得$\frac{BF}{BP}=\frac{FH}{PD}$，$FH=\frac{BF•PD}{BP}=\frac{2}{3}$．
所以${V_{F-ABD}}=\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•FH=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{2}{3}=\frac{1}{9}$，（11分）
所以${V_{B-ADF}}={V_{F-ABD}}=\frac{1}{9}$，即三棱锥B-ADF的体积为$\frac{1}{9}$…（12分）

点评 本题考查间中线面垂直、线面平行的判定定理，三棱锥B-ADF的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．