Question

2．n≥2，n∈N，求证：$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+$\frac{ln4}{{4}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜2（1-$\frac{1}{\sqrt{n}}$）．

Answer 1

分析 先证$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n\sqrt{n}}$，?$\frac{ln\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$＜$\frac{1}{2}$，设f（x）=$\frac{lnx}{x}$（x≥1），求出导数，运用单调性可得最大值，可证；再证$\frac{1}{n\sqrt{n}}$＜2（$\frac{1}{\sqrt{n-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{n}}$），n≥2．运用裂项和放缩法可得，再由累加法即可得证．

解答 证明：先证$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n\sqrt{n}}$?$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{1}{\sqrt{n}}$?lnn＜$\sqrt{n}$
?2ln$\sqrt{n}$＜$\sqrt{n}$?$\frac{ln\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$＜$\frac{1}{2}$，
设f（x）=$\frac{lnx}{x}$（x≥1），f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当1＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＞e时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=e处取得最大值，且为$\frac{1}{e}$，
则$\frac{ln\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$≤$\frac{1}{e}$＜$\frac{1}{2}$，
再证$\frac{1}{n\sqrt{n}}$＜2（$\frac{1}{\sqrt{n-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{n}}$），n≥2．
由$\frac{1}{n\sqrt{n}}$＜$\frac{1}{n\sqrt{n-1}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}•\sqrt{n}•\sqrt{n-1}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$•$\frac{1}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}$（$\frac{1}{\sqrt{n-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{n}}$）
=$\frac{1}{\sqrt{n}}$•（$\sqrt{n}$+$\sqrt{n-1}$）（$\frac{1}{\sqrt{n-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{n}}$）＜$\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$（$\frac{1}{\sqrt{n-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{n}}$）=2（$\frac{1}{\sqrt{n-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{n}}$），
则$\frac{1}{n\sqrt{n}}$＜2（$\frac{1}{\sqrt{n-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{n}}$），n≥2．
即有$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜2（$\frac{1}{\sqrt{n-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{n}}$），n≥2．
即有$\frac{ln2}{{2}^{2}}$＜2（1-$\frac{1}{\sqrt{2}}$），$\frac{ln3}{{3}^{2}}$＜2（$\frac{1}{\sqrt{2}}$-$\frac{1}{\sqrt{3}}$），
…，$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜2（$\frac{1}{\sqrt{n-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{n}}$），n≥2．
累加可得$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+$\frac{ln4}{{4}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜2（1-$\frac{1}{\sqrt{n}}$）．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用不等式的传递性和累加法，以及裂项和放缩法证明，属于难题．