Question

已知函数，，图象与轴异于原点的交点M处的切线为，与轴的交点N处的切线为， 并且与平行.
（1）求的值；
（2）已知实数t∈R，求的取值范围及函数的最小值；
（3）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）2    （2） （3）

试题分析：
（1）根据题意求出f(x)，g(x-1)与x轴交点的坐标，利用切线平行，即导函数在交点处的导函数值相等，即可求出f(x)中参数a的值，进而得到f(2).
（2）可以利用求定义域，求导，求单调性与极值 对比极值与端点值得到的取值范围.进而直接用u替代中的，把问题转化为求解在区间上的最小值，即为一个含参二次函数的最值.则利用二次函数的单调性，即分对称轴在区间的左边，中，右边三种情况进行讨论得到函数的最小值.
（3）对F(x)求导求并确定导函数的符号得到函数F(x)的单调性，有了F(x)的单调性，则要得到不等式，我们只需要讨论m的范围确定的大小关系，再根据单调性得到的大小关系，判断其是否符合不等式，进而得到m的取值范围.
试题解析：
（1） 图象与轴异于原点的交点，  1分
图象与轴的交点，   2分
由题意可得， 即     ，     3分
∴，                       4分
（2）= 5分
令，在 时，，
∴在单调递增，               6分
图象的对称轴，抛物线开口向上
①当即时，          7分
②当即时，  8分
③当即时，
  9分
,
所以在区间上单调递增 
∴时，         10分
①当时，有，
，
得，同理，　
∴ 由的单调性知   、
从而有，符合题设.   11分
②当时，，
，
由的单调性知 ，
∴，与题设不符  12分
③当时，同理可得，
得，与题设不符.    13分
∴综合①、②、③得           14分