Question

设函数f(x)＝x³－(1＋a)x²＋4ax＋24a，其中常数a>1.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

(1) f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)是增函数，在区间(2,2a)是减函数.

(2) a的取范围是(1,6).

【解析】(1)求导后，可得,然后利用导数大于（小于）零，求函数的单调增（减）区间.

（2）把握住本小题求解问题的本质是当x≥0时，f(x)的最小值大于零恒成立，求a的取值范围，因而利用导数求最小值即可

(1)f′(x)＝x²－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a) 由已知a>1，∴2a>2，∴令f′(x)>0，解得x>2a或x<2，∴当x∈(－∞，2)∪(2a，＋∞)时，f(x)单调递增，当x∈(2,2a)时，f(x)单调递减.综上，当a>1时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)是增函数，在区间(2,2a)是减函数.

(2)由(1)知，当x≥0时，f(x)在x＝2a或x＝0处取得最小值.

f(2a)＝(2a) ³－(1＋a)(2a)²＋4a·2a＋24a

＝－a³＋4a²＋24a＝－a(a－6)(a＋3)，f (0)＝24a.

解得1<a<6.故a的取范围是(1,6).