Question

5．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的焦距为10，点P（2，1）在它的一条渐近线上．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）由题意，c=5，$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，求出a=2$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{5}$，可得双曲线的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{20}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（2）双曲线的右准线为x=$\frac{20}{5}$=4，即可求出以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．

解答 解：（1）由题意，c=5，$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴a=2$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{5}$，
∴双曲线的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{20}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（2）双曲线的右准线为x=$\frac{20}{5}$=4，
∴以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程y²=-16x．

点评 本题考查双曲线、抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．