艾萨克•牛顿(1643年1月4日-1727年3月31日)英国皇家学会会长.英国著名物理学家.同时在数学上也有许多杰出贡献.牛顿用“作切线的方法求函数f(x)零点时给出一个数列{xn}:满足${x {n+1}}={x n}-\frac{{f}}$.我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f(x)=ax2+bx+c有两个零点1.2.数列{xn}为牛� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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7．艾萨克•牛顿（1643年1月4日-1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f（x）零点时给出一个数列{x_n}：满足${x_{n+1}}={x_n}-\frac{{f（{x_n}）}}{{f'（{x_n}）}}$，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{x_n}为牛顿数列，设${a_n}=ln\frac{{{x_n}-2}}{{{x_n}-1}}$，已知a₁=2，x_n＞2，则{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ．

分析由已知得到a，b，c的关系，可得f（x）=ax²-3ax+2a，求导后代入${x_{n+1}}={x_n}-\frac{{f（{x_n}）}}{{f'（{x_n}）}}$，整理可得$\frac{{x}_{n+1}-2}{{x}_{n+1}-1}=（\frac{{x}_{n}-2}{{x}_{n}-1}）^{2}$，两边取对数，可得$ln\frac{{x}_{n}-2}{{x}_{n}-1}$是以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式求导答案．

解答解：∵函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2a}\\{b=-3a}\end{array}\right.$．
∴f（x）=ax²-3ax+2a．
则f′（x）=2ax-3a．
则${x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{a{{x}_{n}}^{2}-3a{x}_{n}+2a}{2a{x}_{n}-3a}$=${x}_{n}-\frac{{{x}_{n}}^{2}-3{x}_{n}+2}{2{x}_{n}-3}$=$\frac{{{x}_{n}}^{2}-2}{2{x}_{n}-3}$，
∴$\frac{{x}_{n+1}-2}{{x}_{n+1}-1}=（\frac{{x}_{n}-2}{{x}_{n}-1}）^{2}$，
则$ln\frac{{x}_{n}-2}{{x}_{n}-1}$是以2为公比的等比数列，
∵${a_n}=ln\frac{{{x_n}-2}}{{{x_n}-1}}$，且a₁=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
则${a}_{n}=2•{2}^{n-1}={2}^{n}$，
故答案为：2ⁿ．

点评本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，属中档题．

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