Question

已知函数f(x)=

1

2

cos2x+sinxcosx-

1

2

sin2x
（1）求f（x）的最小正周期、对称轴方程
（2）求f（x）的单调区间
（3）求f（x）在区间[-

π

8

，

π

2

]的最大值和最小值．

Answer 1

分析：利用二倍角公式，平方关系，两角和的正弦函数，化简函数f(x)=

1

2

cos2x+sinxcosx-

1

2

sin2x，为一个角的一个三角函数的形式，（1）直接求出最小正周期，对称轴方程
（2）利用正弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间．
（3）利用[-

π

8

，

π

2

]求出0≤2x+

π

4

≤

5π

4

，然后求出函数的最值．

解答：解：f(x)=

1

2

cos2x+sinxcosx-

1

2

sin2x=

1

2

cos2x+

1

2

sin2x=

2

2

sin(2x+

π

4

)
（1）T=

2π

2

=π
由得2x+

π

4

=

π

2

+kπ(k∈Z)∴对称轴为x=

π

8

+

1

2

kπ(k∈Z)
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)得-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ(k∈Z)
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)得

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ(k∈Z)
∴f（x）的单调增区间为[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ](k∈Z)，
单调减区间为[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ](k∈Z)
（3）∵x∈[-

π

8

，

π

2

]∴-

π

4

≤2x≤π，则0≤2x+

π

4

≤

5π

4

当2x+

π

4

=

π

2

即x=

π

8

时，f（x）有最大值

2

2

当2x+

π

4

=

5π

4

即x=

π

2

时，f（x）有最小值-

1

2

点评：题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，此类题目的解答，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，是中档题．