Question

17．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{x}{4}$，1），n=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$，cos²$\frac{x}{4}$）
（1）若$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1，求sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）的值；
（2）记f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足（$\sqrt{2}$a-c）cosB=bcosC，求函数f（2A）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积公式及三角函数中的恒等变换应用化简可得sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=1，即可得解．
（2）利用三角形中的正弦定理将等式中的边转化为角的正弦值，利用三角形的内角和为180°化简等式，求出角B，求出角2A的范围，从而求出三角函数值的范围．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+cos²$\frac{x}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1+cos\frac{x}{2}}{2}$=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=1，
∴解得：sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．
（2）∵（$\sqrt{2}$a-c）cosB=bcosC
∴利用正弦定理可得：$\sqrt{2}$sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA
∵sinA＞0
∴cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{4}$
∴A∈（0，$\frac{3π}{4}$），
∵f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴f（2A）=sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∵A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{12}$）
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，1]
∴f（2A）=sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$∈（$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$+$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查向量的数量积公式、考查三角形的正弦定理、考查三角形的内角和为180°、考查利用三角函数的单调性求三角函数值的范围，属于基本知识的考查．