Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，且过点（0，1）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如果直线x=t（t∈R）与椭圆相交于A、B，若E(-

2

，0)，D(

2

，0)，求证：直线EA与直线BD的交点K必在一条确定的双曲线上；
（3）若直线l经过椭圆C的左焦点交椭圆C于P、Q两点，O为坐标原点，且

OP

•

OQ

=-

1

3

，求直线l的方程．

Answer 1

（1）依题意有：b=1，

c

a

=

2

2

，又a²=c²+1，
解得：a=2，c=1，
故椭圆C的方程为：

x2

2

+y2=1．
（2）依题意可设A（t，y₀），B（t，-y₀），K（x，y）．且有

t2

2

+y02=1，
又EA：y=

y0

t+ 2

(x+

2

)，DB：y=

-y0

t- 2

(x-

2

)，
∴y2=

-y02

t2-2

(x2-2)，由

t2

2

+y02=1得：y02=

1

2

(2-t2)
代入即得y2=

1

2

(x2-2)，即为：

x2

2

-y2=1，
所以直线EA与直线BD的交点K必在双曲线

x2

2

-y2=1上．
（3）（A）当直线l的斜率不存在时，P(-1，

1

2

)，Q(-1，-

1

2

)，此时

OP

•

OQ

=1-

1

2

=

1

2

，不满足要求；
（B）当直线l的斜率存在时设为k，则直线l为：y=k（x+1），代入

x2

2

+y2=1得：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
由

OP

•

OQ

=-

1

3

得：x1x2+k2(x1+1)(x2+1)=-

1

3

，
即：(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=-

1

3

；
则：(1+k2)

2k2-2

1+2k2

+k2

-4k2

1+2k2

+k2=-

1

3

；
解得：k²=1?k=±1；
直线l过椭圆C的左焦点，故恒有两个交点，则k=±1满足要求，
故直线l的方程为：y=x+1或y=-x-1．