Question

5．已知两个非零向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$不共线，
（1）若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a+\overrightarrow b$，$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow a+8\overrightarrow b$，$\overrightarrow{CD}=3（\overrightarrow a-\overrightarrow b）$，求证：A、B、D三点共线；
（2）试确定实数k，使得$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a+k\overrightarrow b$共线；
（3）若$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（1，1），$\overrightarrow c=\overrightarrow a+λ\overrightarrow b$，且$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{c}$，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用向量的坐标运算推导出$\overrightarrow{BD}$=5$\overrightarrow{AB}$，从而$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{BD}$共线，由此能证明A、B、D三点共线．
（2）由已知得存在实数λ，使$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$=λ（$\overrightarrow a+k\overrightarrow b$），从而得到k²-1=0，由此能求出k．
（3）先求出$\overrightarrow{c}$=（1+λ，2+λ），再由向量垂直数量积为0的性质能求出λ．

解答 （1）证明：∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a+\overrightarrow b$，$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow a+8\overrightarrow b$，$\overrightarrow{CD}=3（\overrightarrow a-\overrightarrow b）$，
∴$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$=$2\overrightarrow{a}+8\overrightarrow{b}+3（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$
=$2\overrightarrow{a}+8\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$
=$5（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$=5$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{BD}$共线，
又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．
（2）解：∵$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a+k\overrightarrow b$共线，
∴存在实数λ，使$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$=λ（$\overrightarrow a+k\overrightarrow b$），
即$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$=λ$\overrightarrow{a}+λk\overrightarrow{b}$，∴（k-λ）$\overrightarrow{a}$=$（λk-1）\overrightarrow{b}$，
∵$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$是两个不共线的非零向量，
∴k-λ=λk-1=0，∴k²-1=0，
解得k=±1．
（3）∵$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（1，1），$\overrightarrow c=\overrightarrow a+λ\overrightarrow b$，且$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{c}$=（1+λ，2+λ），
$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=1+λ+2+λ=0，解得λ=-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查三点共线的证明，考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要注意向量平行、向量垂直的性质的合理运用．