Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=a（a≠3），S_n+1=2S_n+3ⁿ，n∈N^*．
（1）设b_n=S_n-3ⁿ，n∈N^*，证明数列{b_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若a_n+1≥a_n，n∈N^*，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当a≠3时，=2
所以{b_n}为等比数列． （4分）
（2）b₁=S₁-3=a-3，（1分）b_n=（a-3）×2^n-1． （2分）
所以S_n-3ⁿ=（a-3）×2^n-1（3分）a_n=S_n-S_n-1，n≥2，n∈N^*； （6分）
（3）a_n+1≥a_n，，（2分）
a≥-9（5分）
所以a≥-9，且a≠3． （6分）
分析：（1）由已知中S_n+1=2S_n+3ⁿ，b_n=S_n-3ⁿ，n∈N^*，我们可以得到为定值2，根据等比数列的定义，即可得到数列{b_n}为等比数列；
（2）由（1）中结论，我们易求出数列{b_n}的通项公式，进而得到S_n的表达式，进而根据a_n=S_n-S_n-1，n≥2，可以求出数列{a_n}的通项公式；
（3）根据数列a_n+1≥a_n，n∈N^*，我们可（2）中数列{a_n}的通项公式，构造出一个关于a的不等式组，解不等式组，即可得到a的取值范围．
点评：本题考查的知识点是等比关系的确定，数列的函数特征，数列递推式，其中（1）的关键是根据等比数列的定义，证得为定值，但要注意由限制首项不为0，（2）的关键是根据a_n=S_n-S_n-1，n≥2求通项，要注意对n=1时的判断；（3）的关键是根据（2）的结论，构造关于a的不等式组，同样要注意a₁＜a₂