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【题目】已知函数 .

(Ⅰ)当时,求曲线处的切线方程;

(Ⅱ)当时,讨论函数的单调性;

(Ⅲ)设斜率为的直线与函数的图象交于 两点,其中,求证: .

【答案】(1)(2)见解析

【解析】试题分析:(1)首先求得切线斜率 ,且据此由点斜式写出切线方程.

(2)由令,得 .分类讨论: 三种情况即可得到函数的单调区间;

(3)经分析可知,证明原问题只需证明构造函数可证得,即得证.

试题解析:

(Ⅰ)当时, ),

),.

,所以切线方程为,即.

(Ⅱ),令,得 .

①当,即时,令,得;令,得

所以当时, 单调增区间为;单调减区间为.

②当,即时,令,得

所以当 单调增区间为;单调减区间为.

③当,即时,

易知单调增区间为 .

(Ⅲ)根据题意, .(以下用分析法证明)

要证,只要证

只要证

,则只需证: ,令

,所以上递增,

,即,同理可证:

综上, ,即得证.

练习册系列答案
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(1)求 的值;
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(2),试判断的形状,并说明理由.

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1)求证:平面平面

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【题目】某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况,抽查东西两部各5个城市,得到观看该节目的人数(单位:千人)如下茎叶图所示:

其中一个数字被污损.

(1)求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率.

(2)随着节目的播出,极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情,从中获益匪浅.现从观看该节目的观众中随机统计了4位观众的周均学习成语知识的时间(单位:小时)与年龄(单位:岁),并制作了对照表(如下表所示)

年龄(岁)

20

30

40

50

周均学习成语知识时间(小时)

2.5

3

4

4.5

由表中数据,试求线性回归方程,并预测年龄为55岁观众周均学习成语知识时间.

参考公式: .

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(1) 及| |;
(2)若f(x)的最小值是 ,求实数λ的值.

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【题目】电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.

(1)根据已知条件完成上面的列联表,若按的可靠性要求,并据此资料,你是否认为“体育迷”与性别有关?

(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的,求分布列,期望和方差.

附:

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【题目】已知 ,0<β< ,cos( +α)=﹣ ,sin( +β)= ,求sin(α+β)的值.

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(1)证明:

(2)若 ,求二面角的余弦值.

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