Question

20．在△ABC中，已知B=60°，c=2，1≤a≤4，则sinC的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1]．

Answer 1

分析 利用余弦定理求出b与a的关系，利用正弦定理推出sinC的表达式，然后求解范围．

解答 解：由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=a²-2a+4，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-2a+4}$，
于是由正弦定理可得sinC=$\frac{csinB}{b}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{a}^{2}-2a+4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{{a}^{2}-2a+4}}$，
∵1≤a≤4，$\sqrt{{a}^{2}-2a+4}$=$\sqrt{（{a-1）}^{2}+3}$∈[$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]，
从而得到sinC的取值范围是：[$\frac{1}{2}$，1]．
故答案为：[$\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式，考查了余弦定理和正弦定理的综合应用，属于中档题．