Question

【题目】已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn ， 且满足（n+1）an=2Sn（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=ancos（πan），求数列{bn）的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵（n+1）an=2Sn，∴（n+2）an+1=2Sn+1．

两式相减，得（n+1）an=nan+1，即 = ．

∴an= …

= … ×1=n

（2）解：∵bn=ancos（πan）=ncosnπ=n（﹣1）n，

∴Tn=1×（﹣1）+2×（﹣1）2+3×（﹣1）3+4×（﹣1）4+…+n×（﹣1）n，①

﹣Tn=1×（﹣1）2+2×（﹣1）3+3×（﹣1）4+4×（﹣1）5+…+n×（﹣1）n+1．②

①﹣②，整理得

2Tn=﹣1+（﹣1）2+（﹣1）3+（﹣1）4+…+（﹣1）n﹣n（﹣1）n+1= ﹣﹣n（﹣1）n+1

∴Tn= （﹣1）n﹣ ．

【解析】解法2：bn=ancos（πan）=ncosnπ=n（﹣1）n= ．

当n为偶数时，Tn=﹣1+2﹣3+4﹣5+6…﹣（n（n﹣1）﹣n= ﹣n=﹣ ．

∴Tn= （﹣1）n﹣ ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．