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已知如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是菱形,AC与BD的交点为O,SO⊥平面ABCD,E为侧棱SC上一个动点.
(1)求证:平面SAC⊥平面BDE;
(2)若E为SC的中点,求证:SA∥平面BDE;
(3)若E为SC的中点,AB=SO=a,∠BAD=60°,求三棱锥S-BDE的体积.
考点:平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定
专题:空间位置关系与距离
分析:(1)由SA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,知SA⊥BD,由底面ABCD为正方形,知BD⊥AC,由此能够证明面EBD⊥面SAC.
(2)要证明SA∥平面BDE,只需证明SA平行于平面BDE内的一条直线即可,而E为中点,所以连接AC、BD交于点O.由条件知道O为AC中点,从而EO为三角形SAC的中位线,从而得到SA∥OE,得证;
(3)由已知中E为SC的中点,AB=SO=a,∠BAD=60°,先求出三棱锥S-BDC的体积和三棱锥E-BDC的体积,相减可得答案.
解答: 证明:(1)∵SA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
∴SA⊥BD,
∵底面ABCD为正方形,
∴BD⊥AC,
∵SA∩AC=A,
∴BD⊥平面SAC,
∵BD?平面EBD,
∴面EBD⊥面SAC.
(2)连接OE,

∵四边形ABCD是菱形,
∴O为AC的中点,
又∵E为SC的中点,
∴OE为三角形SAC的中位线,
∴SA∥OE,
又∵OE?面BDE,SA?面BDE,
∴SA∥平面BDE;
(3)∵AB=SO=a,∠BAD=60°,
∴S△BCD=
1
2
BC•CD•sin60°=
3
4
a2

∴三棱锥S-BDC的体积为:
1
3
×
3
4
a2
×a=
3
12
a3

∵E为SC的中点,
故三棱锥E-BDC的高为:
1
2
a

故三棱锥E-BDC的体积为:
1
3
×
3
4
a2
×
1
2
a
=
3
24
a3

故三棱锥S-BDE的体积V=
3
12
a3
-
3
24
a3
=
3
24
a3
点评:本题考查平面与平面垂直的证明,考查直线与平面平行的证明,考查棱锥的体积的求法,解题时要认真审题,仔细解答,难度中档.
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计算(2
7
9
0.5+0.1-2+(2
10
27
 
2
3
-3π0+
37
48
=
 

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