Question

设的所有排列的集合为；，记
，；求．（其中表示集合的元素个数）．

Answer 1

：我们一般地证明，若，对于前个正整数的所有排列构成的集合，若，，则．

下面用数学归纳法证明：．
当时，由排序不等式知，集合中的最小元素是，最大元素是
．又，，
，
，所以，=共有11=个元素．因此，时命题成立．假设命题在（）时成立；考虑命题在时的情况．对于的任一排列，恒取，得到的一个排列，
则．由归纳假设知，此时取遍区间
上所有整数．
再令，则，
再由归纳假设知，取遍区间
上的所有整数．
因为，所以，取遍区间
上的所有整数．即命题对也成立．由数学归纳法知，命题成立．
由于 ，从而，集合
的元素个数为．特别是，当时，．