Question

3．在△ABC中，已知2a•cosB+c•cosB+b•cosC=0，
（1）求角B；
（2）若sinA=3sinC，$b=\sqrt{13}$，求a与c．

Answer 1

分析 （1）△ABC中，由bcosC=（2a-c）cosB，利用正弦定理化简可得cosB=-$\frac{1}{2}$，即可求B；
（2）由正弦定理化简已知等式可得：a=3c，代入余弦定理即可得解．

解答 解：（1）△ABC中，∵2a•cosB+c•cosB+b•cosC=0，可得：-bcosC=（2a+c）cosB，由正弦定理得：
-2RsinBcosC=（4RsinA+2RsinC）cosB，即-sinBcosC-sinCcosB=2sinAcosB，
化简为-sin（B+C）=2sinAcosB，
∴-sinA=2sinAcosB，sinA≠0，
∴cosB=-$\frac{1}{2}$，
∴B=120°
（2）∵sinA=3sinC，
∴由正弦定理可得：a=3c，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB可得：13=9c²+c²-2×$3c×c×（-\frac{1}{2}）$，整理可解得：c=1，故可得a=3．

点评 本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式、正弦定理、和差化积公式的应用，属于中档题．