Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为

2

2

，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=

AP+BQ

PQ

，若直线l的斜率k≥

3

，则λ的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：根据已知条件求出椭圆C的方程，再由直线l过椭圆C的右焦点，设出直线l的方程，联系椭圆C和直线l的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系能求出λ的取值范围．

解答：解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为

2

2

，
∴

2b=2 c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=c=1，
∴椭圆C：

x2

2

+y2=1，
∵过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，
∴设直线l的方程为y=k（x-1），
联立

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁＞y₂，
则x1+x2=

4k2

2k2+1

，x₁x₂=

2k2-2

2k2+1

，
∴λ=

AP+BQ

PQ

=

2-x1+2-x2

y1-y2

=

4-(x1+x2)

k(x1-1)-k(x2-1)

=

4- 4k2 2k2+1

k (x1+x2)-4x1x2

=

4- 4k2 2k2+1

k ( 4k2 2k2+1 )2-4× 2k2-2 2k2+1

=

2k2+2

k

=

2+ 2 k2

，
∵k≥

3

，
∴当k=

3

时，λ_max=

2+ 2 3

=

2 6

3

，
当k→+∞时，λ_min→

2

，
∴λ的取值范围是(

2

，

2 6

3

]．
故答案为：(

2

，

2 6

3

]．

点评：本题考查椭圆知识的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．