Question

15．已知函数f（x）=|x+3|+|x-2|
（Ⅰ）若?x∈R，f（x）≥6a-a²恒成立，求实数a的取值范围
（Ⅱ）求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由题意得，关于x的不等式|x+3|+|x-2|≥6a-a²在R恒成立，求出左边的最小值，即可求实数a的取值范围
（Ⅱ）图象与直线y=9围成的封闭图形是等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，即可求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积．

解答 解：（Ⅰ） 由题意得，关于x的不等式|x+3|+|x-2|≥6a-a²在R恒成立，
因为|x+3|+|x-2|≥|（x+3）-（x-2）|=5，所以6a-a²≤5，
解得a≤1或a≥5．
（Ⅱ）f（x）=9，可得x=-5或x=4，如图所示，函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形是等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，面积为$\frac{（9+5）×4}{2}$=28．

点评 本题主要考查绝对值函数，考查恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．