Question

【题目】已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=3x ．
（1）求 f（x），g（x）；
（2）若对于任意实数t∈[0，1]，不等式f（2t）+ag（t）＜0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若存在m∈[﹣2，﹣1]，使得不等式af（m）+g（2m）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）、g（x）分别是奇函数、偶函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），

令x取﹣x，代入f（x）+g（x）=3x ①，

f（﹣x）+g（﹣x）=3﹣x，即﹣f（x）+g（x）=3﹣x ②，

由①②解得，f（x）= ，g（x）=

（2）解：由（1）可得，不等式f（2t）+ag（t）＜0为：

不等式 +a ＜0，

化简得，（3t﹣3﹣t）+a＜0，即a＜﹣3t+3﹣t，

∵任意实数t∈[0，1]，不等式f（2t）+ag（t）＜0恒成立，

且函数y=﹣3t+3﹣t在[0，1]上递减，∴y≥ ，即a＜

则实数a的取值范围是（﹣∞， ）

（3）解：由（1）可得，不等式af（m）+g（2m）＜0为：

a + ＜0，

∵m∈[﹣2，﹣1]，∴ ，则化简得，

a＞ = = ，

令t=3﹣m﹣3m，∵m∈[﹣2，﹣1]，∴t∈[ ， ]，

则a＞ ，

∴存在m∈[﹣2，﹣1]，使得不等式af（m）+g（2m）＜0成立等价于：

存在t∈[ ， ]，使得不等式a＞ 成立，

∵ =2 ，当且仅当 ，即t= 时取等号，

∴函数y= 在[ ， ]递增，则函数y= 的最小值是 ，

即a＞ ，故实数a的取值范围是（ ，+∞）

【解析】（1）将﹣x代入已知等式，利用函数f（x）、g（x）的奇偶性，得到关于f（x）与g（x）的又一个方程，将二者看做未知数解方程组，解得f（x）和g（x）；（2）由（1）和t的范围化简不等式f（2t）+ag（t）＜0，分离出a后构造函数，由指数函数的单调性求出最小值，根据恒成立求出实数a的取值范围；（3）由（1）和m的范围化简不等式af（m）+g（2m）＜0，分离出a后构造函数，利用换元法法，由函数的单调性求出最小值，根据存在性问题求出实数a的取值范围；
【考点精析】掌握函数奇偶性的性质是解答本题的根本，需要知道在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．