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由部分自然数构成如图的数表,用aij(i≥j)表示第i行第j个数(i,j∈N*),使ai1=aii=i,每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数的之和.设第n(n∈N*)行中各数之和为bn
(1)求b6
(2)用bn表示bn+1
(3)试问:数列{bn}中是否存在不同的三项bp,bq,br(p,q,r∈N*)恰好成等差数列?若存在,求出p,q,r的关系;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)注意观察,寻找规律,求出b6
(2)bn+1=a(n+1)1+a(n+1)2+…+a(n+1)(n+1)=2(an1+an2+…+ann)+2
=2bn+2.
(3)由题设知bn+2=3•2n-1⇒bn=3•2n-1-2,设p>q>r,{bn}是递增数列,由此能导出数列{bn}中不存在不同的三项bp,bq,br恰好成等差数列.
解答:解:(1)b6=6+16+25+25+16+6=94.(2分)
(2)bn+1=a(n+1)1+a(n+1)2+…+a(n+1)(n+1)=n+1+(an1+an2)+…+(an(n-1)ann)+n+1=2(an1+an2+…+ann)+2
=2bn+2;(6分)
(3)∵bn+1=2bn+2,
∴bn+1+2=2(bn+2)(8分)
所以{bn+2}是以b1+2=3为首项,2为公比的等比数列,(9分)
则bn+2=3•2n-1⇒bn=3•2n-1-2.(11分)
若数列{bn}中存在不同的三项bp,bq,br(p,q,r∈N*)恰好成等差数列,
不妨设p>q>r,显然{bn}是递增数列,则2bq=bp+br(12分)
即22(3•2q-1-2)=(3•2p-1-2)+(3•2r-1-2),化简得:2•2q-r=2p-r+1(*)(14分)
由于p,q,r∈N*,且p>q>r,知q-r≥1,p-r≥2,
所以(*)式左边为偶数,右边为奇数,
故数列{bn}中不存在不同的三项bp,bq,br(p,q,r∈N*)恰好成等差数列.(16分)
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的灵活运用.
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20、由部分自然数构成如图的数表,用aij(i≥j)表示第i行第j个数(i,j∈N*),使ai1=aii=i,每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数的之和.设第n(n∈N*)行中各数之和为bn
(1)求b6
(2)用bn表示bn+1
(3)试问:数列{bn}中是否存在不同的三项bp,bq,br(p,q,r∈N*)恰好成等差数列?若存在,求出p,q,r的关系;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(本题满分16分)

       由部分自然数构成如图的数表,用表示第行第个数(),

使,每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数的之和。设第

行中各数之和为

   (1)求

   (2)用表示

   (3)试问:数列中是否存在不同的三项)恰好成等差数列?若存在,求出的关系;若不存在,请说明理由。

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(本题满分16分)

       由部分自然数构成如图的数表,用表示第行第个数(),

使,每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数的之和。设第

行中各数之和为

   (1)求

   (2)用表示

   (3)试问:数列中是否存在不同的三项)恰好成等差数列?若存在,求出的关系;若不存在,请说明理由。

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科目:高中数学 来源:2010年广东省深圳市宝安中学高考数学考前热身训练试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

由部分自然数构成如图的数表,用aij(i≥j)表示第i行第j个数(i,j∈N*),使ai1=aii=i,每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数的之和.设第n(n∈N*)行中各数之和为bn
(1)求b6
(2)用bn表示bn+1
(3)试问:数列{bn}中是否存在不同的三项bp,bq,br(p,q,r∈N*)恰好成等差数列?若存在,求出p,q,r的关系;若不存在,请说明理由.

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