Question

由部分自然数构成如图的数表，用a_ij（i≥j）表示第i行第j个数（i，j∈N^*），使a_i1=a_ii=i，每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数的之和．设第n（n∈N^*）行中各数之和为b_n．
（1）求b₆；
（2）用b_n表示b_n+1；
（3）试问：数列{b_n}中是否存在不同的三项b_p，b_q，b_r（p，q，r∈N^*）恰好成等差数列？若存在，求出p，q，r的关系；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）注意观察，寻找规律，求出b₆．
（2）b_n+1=a_（n+1）1+a_（n+1）2+…+a_{（n+1）（n+1）}=2（a_n1+a_n2+…+a_nn）+2
=2b_n+2．
（3）由题设知b_n+2=3•2^n-1⇒b_n=3•2^n-1-2，设p＞q＞r，{b_n}是递增数列，由此能导出数列{b_n}中不存在不同的三项b_p，b_q，b_r恰好成等差数列．
解答：解：（1）b₆=6+16+25+25+16+6=94．（2分）
（2）b_n+1=a_（n+1）1+a_（n+1）2+…+a_{（n+1）（n+1）}=n+1+（a_n1+a_n2）+…+（a_n（n-1）a_nn）+n+1=2（a_n1+a_n2+…+a_nn）+2
=2b_n+2；（6分）
（3）∵b_n+1=2b_n+2，
∴b_n+1+2=2（b_n+2）（8分）
所以{b_n+2}是以b₁+2=3为首项，2为公比的等比数列，（9分）
则b_n+2=3•2^n-1⇒b_n=3•2^n-1-2．（11分）
若数列{b_n}中存在不同的三项b_p，b_q，b_r（p，q，r∈N^*）恰好成等差数列，
不妨设p＞q＞r，显然{b_n}是递增数列，则2b_q=b_p+b_r（12分）
即22（3•2^q-1-2）=（3•2^p-1-2）+（3•2^r-1-2），化简得：2•2^q-r=2^p-r+1（*）（14分）
由于p，q，r∈N^*，且p＞q＞r，知q-r≥1，p-r≥2，
所以（*）式左边为偶数，右边为奇数，
故数列{b_n}中不存在不同的三项b_p，b_q，b_r（p，q，r∈N^*）恰好成等差数列．（16分）
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．