Question

【题目】在一条长36cm的直尺上刻划n条刻度，使得用该尺能一次性度量中的任意整数cm的长度，试求n的最小值.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

如果该尺上刻划7条（或不足7条）刻度，我们可证明达不到一次性度量[1,36]中的任意整数cm长度的要求.

事实上，7条刻度连同尺的两条端线共9条，在这9条线中任取2条（每一种取法对应一种度量长度）有36种不同的取法，即7条刻度至多只能度量36种不同的长度.

7条刻度把整个直尺分割成8段，若存在某两段的长度相等，则此时度量的不同长度要小于36种，显然达不到度量要求.

在7条刻度把直尺分割的8段中若没有任何两段长度相等，注意到1+2+3+4+5+6+7+8=36.易知此时长度为1cm,2cm,…,8cm各一段。

1 如果长度为1cm的段不在尺的一端，则不能度量35cm；

若长度为2cm的段不在尺的一端，则不能度量34cm.

2 如果长为1cm的段在尺的一端，长为2cm的段在尺的另一端，此时若长为3cm的段不与长为1cm的段相邻，则不能度量32cm；

若长为3cm的段与长为1cm的段相邻，则不能度量31cm.

由此可见，为达到度量要求，尺上的刻度数不少于8条.

8条刻度把支持分割为9段

9段的长度依次为1，2，3，7，7，7，4，4，1时

实施知可实现一次性度量[1,36]中的任意整数cm的长度.

故本题结论为：n的最小值为8.

即在一条长36cm的直尺上至少要刻划8条刻度，才可能实现（上述给出的刻度分布为一种实现方法）用该尺一次性度量[1,36]中的任意整数cm的长度.