Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC= AD=1，CD= ．
（1）求证：平面MQB⊥平面PAD；
（2）若二面角M﹣BQ﹣C大小的为60°，求QM的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AD∥BC，BC= AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ

∵∠ADC=90°∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．∵BQ平面MQB，∴平面MQB⊥平面PAD

（2）解：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则Q（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0， ），B（0， ，0），C（﹣1， ，0），

由 = = ，且0≤λ≤1，得M（ ）

所以 =（ ），又 =（0， ，0），

∴平面MBQ法向量为 =（ ）

由题意知平面BQC的法向量为 =（0，0，1）

∵二面角M﹣BQ﹣C为60°，

∴cos60°= = ，∴

∴|QM|=

【解析】（1）证明CD∥BQ，推出QB⊥AD．得到BQ⊥平面PAD，然后证明平面MQB⊥平面PAD．（2）证明PQ⊥AD．推出PQ⊥平面ABCD，以Q为原点建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面MBQ法向量，平面BQC的法向量，然后利用利用空间向量的数量积求解即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平面与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．