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已知函数y=lg(-x),求其定义域,并判断其奇偶性、单调性.

答案:
解析:

  思路分析:这是一个常用对数,只要考虑真数大于0即可.但由于真数中含有根式,所以还要判断根式内的式子大于0时自变量的取值.

  解:由题意知-x>0,解得x∈R,即定义域为R;

  又f(-x)=lg[-(-x)]=lg(+x)=lg=lg(-x)-1=-lg(-x)=-f(x).

  ∴y=lg(-x)是奇函数.

  ∵奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,

  ∴我们只需研究R+上的单调性.

  任取x1、x2R+且x1<x2

  则+x1+x2

  

  即有-x1-x2>0.

  ∴lg(-x1)>lg(-x2),即f(x1)>f(x2)成立.

  又f(x)是定义在R上的奇函数,故f(x)在R上也为减函数.


提示:

研究函数的性质一定得先考虑定义域,在研究函数单调性时,注意奇偶性对函数单调性的影响,即偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性;奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性.


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