【题目】设函数f(x)=xlnx+ax,a∈R.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若对x>1,f(x)>(b+a﹣1)x﹣b恒成立,求整数b的最大值.
【答案】
(1)解:a=1时,f(x)=xlnx+x(x>0).f(1)=1.
f′(x)=lnx+2,f′(1)=2.
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为:y﹣1=2(x﹣1),
化为:2x﹣y﹣1=0.
(2)解:对x>1,f(x)>(b+a﹣1)x﹣b恒成立,b< .
令g(x)= ,则g′(x)=
=
.
令h(x)=x﹣lnx﹣2,x>1.
h′(x)=1﹣ >0,可知:函数h(x)在(1,+∞)上单调递增.
∴h(x)>h(1)=﹣1,
因此函数h(x)存在唯一零点x0∈(3,4),x0﹣lnx0﹣2=0.
使得g(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.
∴x=x0时,函数g(x)取得极小值即最小值,
∴b< =
=x0.
因此整数b的最大值为3
【解析】(1)a=1时,f(x)=xlnx+x(x>0).f(1)=1.f′(x)=lnx+2,f′(1)=2.利用点斜式即可得出.(2)对x>1,f(x)>(b+a﹣1)x﹣b恒成立,b< .令g(x)=
,则g′(x)=
=
.令h(x)=x﹣lnx﹣2,x>1.L利用导数可知:函数h(x)在(1,+∞)上单调递增.h(x)>h(1)=﹣1,因此函数h(x)存在唯一零点x0∈(3,4),x0﹣lnx0﹣2=0.可得x=x0时,函数g(x)取得极小值即最小值,代入可得b<x0.即可得出.
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【题目】在直角坐标系xOy中,直线C1的参数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2(1+2sin2θ)=3.
(Ⅰ)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(Ⅱ)直线C1与曲线C2相交于A,B两点,点M(1,0),求||MA|﹣|MB||.
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【题目】已知函数,函数
.
(1)若函数,
的最小值为-16,求实数
的值;
(2)若函数在区间
上是单调减函数,求实数
的取值范围;
(3)当时,不等式
的解集为
,求实数
的取值范围.
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【题目】第35届牡丹花会期间,我班有5名学生参加志愿者服务,服务场所是王城公园和牡丹公园.
(1)若学生甲和乙必须在同一个公园,且甲和丙不能在同一个公园,则共有多少种不同的分配方案?
(2)每名学生都被随机分配到其中的一个公园,设X,Y分别表示5名学生分配到王城公园和牡丹公园的人数,记ξ=|X﹣Y|,求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)
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【题目】已知圆与圆
(1)若直线与圆
相交于
两个不同点,求
的最小值;
(2)直线上是否存在点
,满足经过点
有无数对互相垂直的直线
和
,它们分别与圆
和圆
相交,并且直线
被圆
所截得的弦长等于直线
被圆
所截得的弦长?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数将
的图象向右平移两个单位,得到函数
的图象.
(1)求函数的解析式;
(2)若方程在
上有且仅有一个实根,求
的取值范围;
(3)若函数与
的图象关于直线
对称,设
,已知
对任意的
恒成立,求
的取值范围.
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【题目】已知椭圆C: +
=1(a>b>0)的离心率为
,且经过点M(﹣3,﹣1).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l:x﹣y﹣2=0与椭圆C交于A,B两点,点P为椭圆C上一动点,当△PAB的面积最大时,求点P的坐标及△PAB的最大面积.
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