Question

（A）（不等式选讲）不等式log₃（|x-4|+|x+5|）＞a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是

 

；
（B） （几何证明选讲）如图，已知在△ABC中，∠C=90°，正方形DEFC內接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC=1，BC=2，则正方形DEFC的边长等于

 

；
（C） （极坐标系与参数方程）曲线ρ=2sinθ与ρ=2cosθ相交于A，B两点，则直线AB的方程为

 

．

Answer 1

分析：（A） 由（|x-4|+|x+5|） 的意义可得最小值等于9，log₃（|x-4|+|x+5|）≥2．
（B）设 正方形DEFC的边长等于 b，由Rt△AEF∽Rt△ABC得到对应线段成比列，求出b值．
（C）把曲线 方程化为直角坐标方程，相减即得公共弦所在的直线方程．

解答：解：（A） （|x-4|+|x+5|） 表示数轴上的 x到-5和4的距离之和，其最小值等于9，故log₃（|x-4|+|x+5|）≥2，
故当a＜2时，不等式log₃（|x-4|+|x+5|）＞a对于一切x∈R恒成立，
实数a的取值范围是a＜2．
（B）设 正方形DEFC的边长等于  b，由Rt△AEF∽Rt△ABC得

1-b

1

= 

b

2

，∴b=

2

3

．
（C）曲线ρ=2sinθ，即 ρ²=2ρsinθ，即 x²+y²-2y=0   ①，
ρ=2cosθ  即 ρ²=2ρcosθ，即 x²+y²-2x=0   ②，
把两曲线的方程  ①、②相减得直线AB的方程  2x-2y=0，即  x-y=0．
故答案为：A：a＜2；B：

2

3

；C：x-y=0．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，把极坐标方程化为普通方程的方法，利用绝对值得意义是解题的难点．