Question

已知一组抛物线y=

1

2

ax²+bx+1，其中a为2、4、6、8中任取的一个数，b为1、3、5、7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是（　　）

• A、

  1

  12

• B、

  7

  60

• C、

  6

  25

• D、

  5

  16

Answer 1

分析：这一组抛物线共4×4条，从中任意抽取两条共有C₁₆²种不同的方法．它们在与直线x=1交点处的切线的斜率k=y'|_x=1=a+b．讨论a+b=5，a+b=7，a+b=9，a+b=11，a+b=13，由分类计数原理知任取两条切线平行的情形，根据古典概型公式得到结果．

解答：解：由题意知这一组抛物线共4×4=16条，
从中任意抽取两条共有C₁₆²=120种不同的方法．
它们在与直线x=1交点处的切线的斜率k=y'|_x=1=a+b．
∵若a+b=5，有两种情形，从中取出两条，有C₂²种取法；
若a+b=7，有三种情形，从中取出两条，有C₃²种取法；
若a+b=9，有四种情形，从中取出两条，有C₄²种取法；
若a+b=11，有三种情形，从中取出两条，有C₃²种取法；
若a+b=13，有两种情形，从中取出两条，有C₂²种取法．
由分类计数原理知任取两条切线平行的情形共有C₂²+C₃²+C₄²+C₃²+C₂²=14种，
∴所求概率为

7

60

．
故选B．

点评：高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，解题时，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．再看是不是几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到．