Question

17．已知（x${\;}^{lo{g}_{2}x}$+1）ⁿ展开式中有连续三项之比为1：2：3，且展开式的倒数第二项为28，则x的值为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{1}{2}$
• C． -2
• D． $\frac{1}{2}$或2

Answer 1

分析 设x${\;}^{lo{g}_{2}x}$=y，利用二项展开式的通项公式求出（y+1）ⁿ的展开式的通项，得到连续三项的系数，根据已知条件列出方程，求出n的值，再根据且展开式的倒数第二项为28，求出y=2，根据对数的运算性质计算即可．

解答 解：设x${\;}^{lo{g}_{2}x}$=y
因为（y+1）ⁿ的展开式的通项为T_r+1=C_n^ry^n-r根据题意得到C_n^r：C_n^r+1：C_n^r+2=1：2：3
解得n=14，
∵T₁₃₊₁=C₁₄¹³y^14-13=28，
∴y=2，
∴x${\;}^{lo{g}_{2}x}$=2，
∴（log₂x）²=1，
∴log₂x=±1，
∴x=2或x=$\frac{1}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项式的有关系数问题，属于中档题．