Question

已知函数：f(x)=

x-a+1

a-x

（a为常数）．
（1）当f（x）的定义域为[a+

1

2

，a+1]时，求函数f（x）的值域；
（2）试问：是否存在常数m使得f（x）+f（m-x）+2=0对定义域内的所有x都成立；若有求出m，若没有请说明理由．
（3）如果一个函数的定义域与值域相等，那么称这个函数为“自对应函数”．若函数f（x）在[s，t]（a＜s＜t）上为“自对应函数”时，求实数a的范围．

Answer 1

分析：（1）把给出的函数式拆项变形，得到f(x)=

-(a-x)+1

a-x

=-1+

1

a-x

，然后直接由函数的定义域求得函数的值域；
（2）直接把f(x)=

x-a+1

a-x

代入f（x）+f（m-x）+2=0整理，由f（x）+f（m-x）+2=0对定义域内的所有x都成立得到常数m的值；
（3）由（1）知函数f（x）为（a，+∞）上的增函数，根据“自对应函数”的定义得到f（s）=s，f（t）=t，则有f（x）=x有两个大于a的相异实根，然后利用方程跟的情况列式求解随机数a的取值范围．

解答：解：（1）f(x)=

-(a-x)+1

a-x

=-1+

1

a-x

当a+

1

2

≤x≤a+1时，
-a-1≤-x≤-a-

1

2

，
-2≤

1

a-x

≤-1，
-1≤a-x≤-

1

2

，
∴-3≤-1+

1

a-x

≤-2．
即f（x）的值域为[-3，-2]；
（2）假设存在m使得f（x）+f（m-x）+2=0成立
则f（x）+f（m-x）+2
=-1+

1

a-x

+-1+

1

a-(m-x)

+2
=

2a-m

(a-x)(x-m+a)

=0恒成立，
∴m=2a，
∴存在常数m=2a满足题意；
（3）因为函数f（x）在（a，+∞）上为增函数，
又[s，t]⊆（a，+∞），∴f（x）在[s，t]上为增函数，
f（x）的值域为[f（s），f（t）]，又函数f（x）在[s，t]上为“自对应函数”，
[s，t]=[f（s），f（t）]
∴f（s）=s，f（t）=t
∴f（x）=x有两个大于a的相异实根
即：x²+（1-a）x+1-a=0有两个大于a的相异实根
∴

△=(1-a)2-4(1-a)＞0 a-1 2 ＞a a2+(1-a)a+1-a＞0

，
解得：a＜-3．

点评：本题考查了恒成立问题，考查了函数的值域，训练了数学转化思想方法，关键是对新定义的理解，是中档题．